Page 26 - MATeMAtyka 1. Podręcznik

Warto wiedzieć

Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodach
Przykład 1
8
8
Uzasadnij, że liczba 13 − 7 jest podzielna przez 120.
8
4
4
4
4
8
13 − 7 =(13 − 7 )(13 +7 )=
4
2
2
2
4
2
=(13 − 7 )(13 +7 )(13 +7 )=
2
2
4
4
= (169 − 49)(13 +7 )(13 +7 )=
4
2
2
4
= 120(13 +7 )(13 +7 )
8
8
Zatem liczba 13 − 7 jest podzielna przez 120.
16
1. a) Uzasadnij, że liczba 19 − 9 16 jest podzielna przez 280.
32
b) Uzasadnij, że liczba 11 − 7 32 jest podzielna przez 72.
Przykład 2

Uzasadnij, że dla dowolnych liczb a, b zachodzi nierówność a+b a 2 +b 2 .
2 2
Jeśli a + b< 0, to nierówność jest prawdziwa (dlaczego?).
Zakładamy teraz, że a+b 0. Obie strony nierówności są wówczas nieujemne,
możemy więc podnieść je do kwadratu, nie zmieniając zwrotu nierówności.
(a+b) 2 a +b 2 /·4
2
4 2 Korzystamy ze wzoru na
2
2
2
a +2ab + b 2a +2b 2 kwadrat sumy.
2
0 a − 2ab + b 2 Korzystamy ze wzoru na
kwadrat różnicy.
0 (a − b) 2
Ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnych liczb a, b, zatem wyjściowa nie-
równość jest prawdziwa.
2. Uzasadnij, że dla dowolnych liczb a, b > 0 zachodzi nierówność:
√
a) 1 2 1 a+b , b) 1 2 1 ab.
a + b 2 a + b
Przykład 3
Udowodnij, że dla dowolnych liczb x i y prawdziwa jest nierówność:
2
2
2x − 2xy − 2x + y +1 0
Przekształcamy równoważnie wyrażenie po lewej stronie nierówności:
2
2
2
2
2
2
2x − 2xy − 2x + y +1 = x − 2xy + y + x − 2x +1 = (x − y) +(x − 1) 2
2
2
(x − y) 0i(x − 1) 0, więc nierówność jest prawdziwa.
3. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x i y prawdziwa jest nierówność:
2
2
2
2
a) y +2x − 2xy − 6x +9 0, b) 5x + y +4 4xy +4x.
90 2. Język matematyki